如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AV=BC=4，点P是AB边中点，∠MPN=90°，∠MPN绕点P旋转．（1）如图1，在旋转过程中，PM、PN分别与边AC、CB相交于点D、E，求证：PD=PE；（2）如图2，在旋转过程中，PM，P

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AV=BC=4，点P是AB边中点，∠MPN=90°，∠MPN绕点P旋转．
（1）如图1，在旋转过程中，PM、PN分别与边AC、CB相交于点D、E，求证：PD=PE；
（2）如图2，在旋转过程中，PM，PN分别与边AC、CB的延长线相交于点D、E．PD=PE还成立吗？请说明理由；
（3）在（1）中，若△PAD是等腰三角形，请直接写出使△PAD是等腰是三角形时的CE长．

Answer 1

（1）证明：如图1，

连接PC，
∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中点，
∴∠A=∠B=∠PCA=45°，AP=PB=PC，
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
在△DPC和△EPB中，

∠PCD=∠B

PC=PB

∠DPC=∠EPB

，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE．     

（2）PD=PE还成立．
理由：如图2，

连接PC，
∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中点，
∴∠A=∠PBC=∠PCA=45°，AP=PB=PC，
∴∠PCD=∠PBE，
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
在△DPC和△EPB中，

∠PCD=∠PBE

PC=PB

∠DPC=∠BPE

，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE．     

（3）分三种情况讨论如下：
①AD=AP=√(2)，CE=√(2)；
②DA=DP=1时，CE=1；
③PA=PD=√(2)时，点B与点E重合，即CE=2．