如图，△ABC为等边三角形，点P是边AC的延长线上一点，连接BP，作∠BPQ等于60°，直线PQ与直线BC交于点N．（1）若点C平分AP时，求证：PB=PN；（2）若点C不平分时，求证：AP•PC=AB•CN；（3）

Question

如图，△ABC为等边三角形，点P是边AC的延长线上一点，连接BP，作∠BPQ等于60°，直线PQ与直线BC交于点N．

（1）若点C平分AP时，求证：PB=PN；
（2）若点C 不平分时，求证：AP•PC=AB•CN；
（3）若BC=2，CN=(3)/(2)，求∠N的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，BC=AC，
∴∠PCN=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CBP+∠CPB=60°，∠BPQ=∠PBN+∠N=60°
∴∠CPB=∠N，
∵点C平分AP，
∴AC=PC，
∴BC=PC，
∴∠PBC=∠CPB，
∴∠PBC=∠N，
∴PB=PN；
（2）证明：由（1）得：∠PCN=∠A=60°，∠CPB=∠N，
∴△PAB∽△NCP，
∴(AP)/(CN)=(AB)/(PC)，
∴AP•PC=AB•CN；
（3） 过点P作PD⊥CN于点D，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
由（1）知，AP•CP=AB•NC，
∴（PC+2）×PC=2×(3)/(2)，
整理得：PC²+2PC-3=0，
∴PC=1或PC=-3（舍去），
在Rt△PCD中，∠PDC=90°，∠PCD=60°
∴∠CPD=30°，
∴CD=(1)/(2)CP=(1)/(2)，
由勾股定理得：PD=√(PC2-CD2)=(√(3))/(2)，
∴DN=CN-CD=(3)/(2)-(1)/(2)=1，
在Rt△NDP中，∠PDN=90°，tan∠N=(PD)/(ND)=((√(3))/(2))/(1)=(√(3))/(2)．