在△ABC中，（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60，请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD

Question

在△ABC中，
（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60，请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE相交于点O，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∴PM=PN，
∴S_△ABP：S_△BPC=(1)/(2)AB•PM：(1)/(2)BC•PN=AB：BC，
∵AB=50，BC=60，
∴△ABP与△BPC面积的比值为(5)/(6)；

（2）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AD＝AB

∠DAC＝∠BAE

AC＝AE

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD；

（3）∠AOD=∠AOE．
理由如下：∵△ABE≌△ADC（已证），
∴∠AEB=∠ACD，
在△ACE中，∠AEB+∠BEC+∠ACE+∠CAE=180°，
在△OCE中，∠BEC+∠ACE+∠ACD+∠COE=180°，
∴∠COE=∠CAE=60°，
∴点A、O、C、E四点共圆，
∴∠AOE=∠ACE=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COE=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOD=∠AOE．