如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:①△BDE∽△DPE;②FPPH=35;③DP2=PH•PB;④tan∠DBE=2-3.其中正确的是
如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:
①△BDE∽△DPE;②
=FP PH
;③DP2=PH•PB;④tan∠DBE=2-3 5
.3
其中正确的是( )
A. ①②③④
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°,
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∴∠CPD=∠CDP=75°,∴∠PDE=15°,
∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°,
∴∠EBD=∠EDP,
∵∠DEP=∠DEB,
∴△BDE∽△DPE;故①正确;
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°,
∵∠DBA=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD,
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,
∴
PF |
PH |
DF |
PB |
DF |
CD |
| ||
3 |
∵∠PDH=∠PCD=30°,
∵∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CDP,
∴
PD |
CD |
PH |
PD |
∴PD2=PH•CD,
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∵PB=CD,
∴PD2=PH•PB,故③正确;
如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,
设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,
∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB•sin60°=4×
| ||
2 |
3 |
∵DE∥PM,
∴∠EDP=∠DPM,
∴∠DBE=∠DPM,
∴tan∠DBE=tan∠DPM=
DM |
PM |
4-2
| ||
2 |
3 |
故答案为:①③④.
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