如图1是边长为6的菱形ABCD，E是BC的中点，AE、BD相交于点P．（1）如图2，当∠ABC=90°时，求BP的长．（2）如图3，当∠ABC角度在改变时，BP的中垂线与边BC的交点F的位置是否发生变化？如果不变

Question

如图1是边长为6的菱形ABCD，E是BC的中点，AE、BD相交于点P．
（1）如图2，当∠ABC=90°时，求BP的长．
（2）如图3，当∠ABC角度在改变时，BP的中垂线与边BC的交点F的位置是否发生变化？如果不变，请求出BF的长；如果改变，请说明理由．
（3）当∠ABC从90°逐步减少到30°的过程中，求P点经过路线长．

Answer 1

（1）∵E是BC的中点，
∴BE=CE=(1)/(2)BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEP∽△DAP，
∴(BP)/(DP)=(BE)/(AD)=(1)/(2)，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴BD=√(62+62)=6√(2)，
∴BP=(1)/(3)BD=2√(2)；

（2）不发生变化；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵BP的中垂线与边BC交于点F，
∴BF=PF，
∴∠FBP=∠BPF，∠BPF=∠ABD，
∴PF∥AB∥CD，
∴(BF)/(BC)=(BP)/(BD)=(1)/(3)，
∴BF=(1)/(3)BC=2，
即点F的位置不发生改变；

（3）P点经过路线是以F为圆心，BF为半径的圆弧，长度为((90-30)π×2)/(180)=(2)/(3)π．