如图，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．（1）求证：AD•BC=AP•BP；（2）设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC

Question

如图，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．

（1）求证：AD•BC=AP•BP；
（2）设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

Answer 1

（1）证明：∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△APD∽△BCP，
∴AD：BP=AP：BC，
∴AD•BC=AP•BP；
（2） 由（1）得：AD：BP=AP：BC，
即(5)/(6-t)=(t)/(BC)，
∴BC=(t(6-t))/(5)，
∴DC=BD-BC=5-(t(6-t))/(5)，
作DM⊥AB于M，如图所示：
则AM=BM=(1)/(2)AB=3，
DM=√(52-32)=4，
当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，DC=4，
∴5-(t(6-t))/(5)=4，
解得：t=1或t=5，
即当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，t的值为1或5．