（1）如图（1），点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；（2）如图（2），直线EP交AD于F，连接BF，FC．FC与BP交与点G

Question

（1）如图（1），点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；

（2）如图（2），直线EP交AD于F，连接BF，FC．FC与BP交与点G．
①若点P是CD中点时，判断CF与BP的关系，并说明理由．
②若CD=4，CP=1，求△BPF的面积和△DPE的面积．
③若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．则(S1)/(S2)=______（不需要证明）

Answer 1

证明：（1）在△BCP与△DCE中，

BC=CD

∠BCP=∠DCE=90°

CP=CE

，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①答：CF=BP，CF⊥BP．
∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP与△CDF中，

BC=CD

∠BCP=∠CDF=90°

CP=FD

，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴BP=CF，∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．
故CF与BP的关系：CF=BP，CF⊥BP．

②△BPF的面积=△BFE的面积-△BPE的面积
=(1)/(2)×（4+1）×4-(1)/(2)×1×1
=10-2.5
=7.5，
△DPE的面积=△DCE的面积-△PCE的面积
=(1)/(2)×4×1-(1)/(2)×（4+1）×1
=2-0.5
=1.5
故△BPF的面积为7.5，△DPE的面积为1.5．

③设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1．
易知△FDP为等腰直角三角形，
∴FD=DP=n-1．
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=(1)/(2)（BC+FD）•CD-(1)/(2)BC•CP-(1)/(2)FD•DP
=(1)/(2)（n+n-1）•n-(1)/(2)n×1-(1)/(2)（n-1）²
=(1)/(2)（n²-1）；
S₂=(1)/(2)DP•CE=(1)/(2)（n-1）×1=(1)/(2)（n-1）．
∵n²-1=（n+1）（n-1），
∴(S1)/(作业帮用户2016-11-28问题解析（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到CF=BP，∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF；②△BPF的面积=△BFE的面积-△BPE的面积，△DPE的面积=△DCE的面积-△PCE的面积，依此计算即可求解；③设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1，分别求出S1与S2的值，得S1=(1)/(2)（n2-1），S2=(1)/(2)（n-1），所以(S1)/(S2)=（n+1）．名师点评本题考点：四边形综合题．考点点评：本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的综合性较强，难度中等．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)