在正方形ABCD中,M为AB上一点,N为BC上一点,并且BM=BN,自B作BP垂直MC于P,求证:DP⊥NP.

Question

在正方形ABCD中,M为AB上一点,N为BC上一点,并且BM=BN,自B作BP垂直MC于P,
求证:DP⊥NP.

Answer 1

证明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°
BP⊥MC
所以∠BPC=∠MPB=90°,∠PBC=∠PMC
所以△BPM∽△CPB
所以BP/BM=CP/CB
又BM=BN,CB=CD
所以BP/BN=CP/CD
又因∠PBC+∠PCB=∠PCD+∠PCB=90°
所以∠PBC=∠PCD
所以△PBN∽△PCD
所以∠DPC=∠NPB
所以∠DPC+∠CPN=∠NPB+∠CPN
所以∠DPN=∠CPB=90°
即:DP⊥NP.