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已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD是垂线,P为AD上一点,过C做CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证:BP2=PE•PF.
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已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD是垂线,P为AD上一点,过C做CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证:BP2=PE•PF.
▼优质解答
答案和解析
证明:连接PC,
∵AB=AC,AD是中线,
∴AD是△ABC的对称轴.
∴PC=PB,∠PCE=∠ABP.
∵CF∥AB,
∴∠PFC=∠ABP(两直线平行,内错角相等),
∴∠PCE=∠PFC.
又∵∠CPE=∠EPC,
∴△EPC∽△CPF.
∴
=
(相似三角形的对应边成比例).
∴PC2=PE•PF.
∵PC=BP,
∴BP2=PE•PF.
∵AB=AC,AD是中线,
∴AD是△ABC的对称轴.
∴PC=PB,∠PCE=∠ABP.
∵CF∥AB,
∴∠PFC=∠ABP(两直线平行,内错角相等),
∴∠PCE=∠PFC.
又∵∠CPE=∠EPC,
∴△EPC∽△CPF.
∴
PC |
PE |
PF |
PC |
∴PC2=PE•PF.
∵PC=BP,
∴BP2=PE•PF.
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