如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．（1）求证：∠BAC=90°；（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，请求出BP的长．

Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．

（1）求证：∠BAC=90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，请求出BP的长．

Answer 1

（11）证明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB²=AD²+BD²=20，
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC²=CD²+AD²=80，
∵BC=CD+BD=10，
∴BC²=100，
∴AC²+AB²=100=BC²，
∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
（2） 分三种情况：
①当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB=√(BD2+AD2)=2√(5)，
∴BP=AB=2√(5)；
②当BP=AP时，P我BC的中点，
∴BP=(1)/(2)AB=5；
③当AP=AB是，BP=2BD=4；
综上所述：BP的长为2√(5)或5或4．