在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP。（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，ⅰ）若，求实数m取值；ⅱ）若点A

Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（0，2）关于原点O对称，P是动点，AP⊥BP。
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与曲线C交于M、N两点，
ⅰ）若 ，求实数m取值；
ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）∵点B与点A（0，2）关于原点O对称，
∴B（0，-2），
由AA ₁ ⊥BC知，点P的轨迹C是以原点O为圆心，以AB为直径的圆（不含A、B两点），
由OA=2，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（Ⅱ）设直线 ：y=x+m与曲线C交于M（ ， ）、N（ ， ）两点，
联立方程组 ，得 ，
∴ + =-m， · = ，
∴ + =-m， · = ，
ⅰ）∵ ，
∴ ，即 。
ⅱ）∵点A在以线段MN为直径的圆内，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 。