梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=α,AB=DC=3,BC=5.点P为射线BC上动点（不与点B、C重合）,点E在直线DC上,且∠APE=α.记∠PAB=∠1,∠EPC=∠2,BP=x,CE=y.（1）当点P在线段BC上时,写出并证明∠1与∠2的数量关系；（2）随

Question

梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=α,AB=DC=3,BC=5.点P为射线BC上动点（不与点B、C重合）,点E在直线DC上,且∠APE=α.记∠PAB=∠1,∠EPC=∠2,BP=x,CE=y.
（1）当点P在线段BC上时,写出并证明∠1与∠2的数量关系；
（2）随着点P的运动,（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系,是否改变?若认为不改变,请证明；若认为会改变,请求出不同于（1）的数量关系,并指出相应的x的取值范围；
（3）若a的余弦=1/3,试用x的代数式表示y.

Answer 1

（1）∠1=∠2
证明：∵∠APC=∠ABC+∠1,又∠APC=∠APE+∠2,
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2,
∵∠ABC=α=∠APE,∴∠1=∠2
（2）会改变,当点P在BC延长线上时,即x＞5时
∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系．
∵∠APE=α=∠ABC,∴∠APB=α-∠2,-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°,∴α+∠1+α-∠2=180°,----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）
（3）①当点P在线段BC上时,
∵∠1=∠2,∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCE,-------------------------------------------------------（1分）
∴
AB
PC
＝
BP
CE
,------------------------------------------------------------（1分）
即
3
5−x
＝
x
y
,∴y＝
5
3
x−
1
3
x2．------------------------------------（2分）
②当点P在线段BC的延长线上时,
可得△EPC∽△EGP,∴EP2=EC•EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3,cosα=
1
3
,
∴BM=2．
∴GC＝
3
x−2
(x−5)
作EK⊥BP,由cosα＝
1
3
得CK＝
1
3
y,KE＝
2
2

3
y,∴KP＝x−5−
1
3
y
∴EP2＝(
2
2

3
y)2+(x−5−
1
3
y)2,
于是y(y+
3(x−5)
x−2
)＝(
2
2

3
y)2+(x−5−
1
3
y)2
即y2+
3
x−2
(x−5)y＝
8
9
y2+(x−5)2−
2
3
(x−5)y+
1
9
y2
亦即y＝
3x2−21x+30
2x+5
-----------------------------------------------（2分）