在梯形ABCD中,AB、DC分别垂直于BC,垂足分别为B、C.设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使AP垂直于PD?请写出证明过程或作简单说明

Question

在梯形ABCD中,AB、DC分别垂直于BC,垂足分别为B、C.设AB=a,DC=b,AD=c,那么当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使AP垂直于PD?
请写出证明过程或作简单说明

Answer 1

用勾股定理
设在梯形ABCD中,AB、DC分别垂直于BC,垂足分别为B、C.在直线BC上存在点P,使AP垂直于PD
可证：
△BPA∽△CDP
BP/CD=AB/CP
BD*CP=AB*CD
AP^2=BP^2+AB^2,PD^2=CD^2+PC^2
AD^2=AP^2+PD^2
=BP^2+AB^2+CD^2+PC^2
=(BP+PC)^2-2*BP*PC+a^2+b^2
=BC^2-2ab+a^2+b^2
=BC^2+(a-b)^2
c^2=BC^2+(a-b)^2
OK
延长BA至点E,使AE=b
延长CD至点F,使DF=a
连接EF,那么梯形ABCD和梯形ABFE全等
那么在EF上也有一点Q,使AQ垂直于QD
容易证得：
△PCD≌△QEA
那么 角PAQ=90
四边形PADE是矩形
那么四边形BPQE和四边形ABCD全等
那么BE=BC
所以四边形BCFE是矩形
那么BC=a+b
那么
c^2=BC^2+(a-b)^2=(a+b)^2+(a-b)^2
c^2=2b^2+2a^2