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如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=
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如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形.
(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=90°,求证:△ABR≌△CRD;
(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足什么条件?
(1)当点P与点B重合时,图1变为图2,若∠ABD=90°,求证:△ABR≌△CRD;
(2)对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足什么条件?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠ABD=90°,AB∥CR,
∴CR⊥BD.
∵BC=CD,
∴∠BCR=∠DCR.
∵四边形ABCR是平行四边形,
∴∠BCR=∠BAR.
∴∠BAR=∠DCR.
又∵AB=CR,AR=BC=CD,
∴△ABR≌△CRD(SAS).
(2)由PS∥QR,PS∥RD(四边形PRDS为平行四边形)知,点R在QD上,
又∵PS∥BC,PS∥RD,
故BC∥AD.
又由AB=CD知∠A=∠CDA,
因为SR∥PQ∥BA,
所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP,
∵BC=CD,
∴SP=SD.而SP=DR,
所以SR=SD=RD,
故∠CDA=60°.
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD,∠CDA=60°.
(注:若推出的条件为BC∥AD,∠BAD=60°或BC∥AD,∠BCD=120°等亦可.)
∴CR⊥BD.
∵BC=CD,
∴∠BCR=∠DCR.
∵四边形ABCR是平行四边形,
∴∠BCR=∠BAR.
∴∠BAR=∠DCR.
又∵AB=CR,AR=BC=CD,
∴△ABR≌△CRD(SAS).
(2)由PS∥QR,PS∥RD(四边形PRDS为平行四边形)知,点R在QD上,
又∵PS∥BC,PS∥RD,
故BC∥AD.
又由AB=CD知∠A=∠CDA,
因为SR∥PQ∥BA,
所以∠SRD=∠A=∠CDA,从而SR=SD.
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP,
∵BC=CD,
∴SP=SD.而SP=DR,
所以SR=SD=RD,
故∠CDA=60°.
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD,∠CDA=60°.
(注:若推出的条件为BC∥AD,∠BAD=60°或BC∥AD,∠BCD=120°等亦可.)
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