两圆重合面积问题A圆/B圆的直径分别为:a,b两圆的圆心距离为c(c=a.补充:B圆在A圆的右边,c的取值范围为:b-a

Question

两圆重合面积问题
A圆/B圆的直径分别为:a,b
两圆的圆心距离为c (c=a.
补充:B圆在A圆的右边,c的取值范围为:b-a

Answer 1

根据海伦公式求出三角形的面积：
p=(a+b+c)/2
S=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]
求出c边上的高h=2S/c
则公共弦长l=2h=4S/c
求出一个圆心角m=2 arcsin l/2a=2 arcsin 2S/ac
扇形面积-三角形面积,得出两圆重合部分的一部分
=m/2pi*pi*a^2-1/2*l*根号[a^2-l^2/4]
=ma^2/2-l[根号(a^2-l^2/4)]/2
=a^2arcsin 2S/ac-l[根号(a^2-4S^2/c^2)]/2
将上式中的a换成b,得出两圆重合部分的另一部分,然后两部分相加,即可得到两圆重合部分的面积：
两圆重合部分的面积=a^2arcsin 2S/ac-l[根号(a^2-4S^2/c^2)]/2+b^2arcsin 2S/bc-l[根号(b^2-4S^2/c^2)]/2
=a^2arcsin 2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]/ac-2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)][根号(a^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)/c^2)]/c+b^2arcsin 2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]/bc-2根号[p(p-a)(p-b)(p-c)][根号(b^2-4p(p-a)(p-b)(p-c)/c^2)]/c
上式中：p=(a+b+c)/2,c>a,c>b.
c