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已知:如图,CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,AB是⊙O的直径,连OC交⊙O于E,连ED、EB.(1)试猜想∠ACD与∠BED的数量关系?并证明你的结论;(2)若⊙O的半径为5,ED=25,求sin∠BED的值.
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(1)试猜想∠ACD与∠BED的数量关系?并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径为5,ED=2
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▼优质解答
答案和解析
(1)答:∠ACD与∠BED的数量关系是∠ACD=2∠BED,
证明:连接OD,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°,
∵∠AOD+∠BOD=180°,
∴∠ACD=∠BOD,
由圆周角定理得:∠BOD=2∠BED,
∴∠ACD=2∠BED.
(2)连接AD交CO于M,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴AC=CD,∠ACO=∠DCO=
∠ACD,
∵∠ACD=2∠BED,
∴∠BED=∠DCO,
∵AC=CD,∠ACO=∠DCO,
∴CO⊥AD,
∴∠DMO=90°=∠CDO,
∴∠DCO+∠DOM=90°,∠ODM+∠DOM=90°,
∴∠ODM=∠DCO=∠BED,
设OM=x,则EM=5-x,
由勾股定理得:DM2=(2
)2-(5-x)2=52-x2,
x=3,
在Rt△OMD中,sin∠BED=sin∠ODM=
=
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b64543a98226cffc6ebb0730ba014a90f703ea9b.jpg)
证明:连接OD,
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°,
∵∠AOD+∠BOD=180°,
∴∠ACD=∠BOD,
由圆周角定理得:∠BOD=2∠BED,
∴∠ACD=2∠BED.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d9677fda9e12dfa9ec8b13cd9b.jpg)
∵CA、CD是⊙O的切线,A、D为切点,
∴AC=CD,∠ACO=∠DCO=
1 |
2 |
∵∠ACD=2∠BED,
∴∠BED=∠DCO,
∵AC=CD,∠ACO=∠DCO,
∴CO⊥AD,
∴∠DMO=90°=∠CDO,
∴∠DCO+∠DOM=90°,∠ODM+∠DOM=90°,
∴∠ODM=∠DCO=∠BED,
设OM=x,则EM=5-x,
由勾股定理得:DM2=(2
5 |
x=3,
在Rt△OMD中,sin∠BED=sin∠ODM=
OM |
OD |
3 |
5 |
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