已知关于x的二次三项式mx²-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式,则方程(m-5)x²-2(m+2)x+m=0的实数根的个数是?还有就是为什么在实数范围内不能分解因式就说明它无实数根?满意的50分.

Question

已知关于x的二次三项式mx²-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式,
则方程(m-5)x²-2(m+2)x+m=0的实数根的个数是?还有就是为什么在实数范围内不能分解因式就说明它无实数根?满意的50分.

Answer 1

∵mx²-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式,
∴Δ1=[-2(m+2)]2-4·m(m+5) =4m²+16m+16-4m²-20m =-4m+164.
当m=5时,原方程为一元一次方程-14x+5=0,有唯一实数解,

当m≠5时,原方程为一元二次方程,
∵Δ2=[-2(m+2)]²-4m(m-5) =4（m+2）²-4（m²-5m） =4（9m+4）,
又∵m>4,
∴9m+4>0,
即Δ2>0.
∴当m≠5时,方程有两个不相等的实数根.