如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB的顶角坐标分别为A（-2,0）,O（0,0）,B（0,4）,把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD1.求C、D两点的坐标2.求经过A、B、D三点的抛物线的解析式3.在题2中抛物

Question

如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB的顶角坐标分别为A（-2,0）,O（0,0）,B（0,4）,
把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD
1.求C、D两点的坐标
2.求经过A、B、D三点的抛物线的解析式
3.在题2中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方）,且EF=1,当E、F在何位置时,四边形ACEF的周长最小?并求出最小值.

Answer 1

1)
C(0,2),D(4,0)
2)设抛物线y=a(x+2)(x-4)
将(0,4)代人,得,
a=-1/2
所以y=(-1/2)(x+2)(x-4)=(-1/2)x^2+x+4
3)因为EF=1,将点D向上平移一个单位成为D'(4,1)
连CD'
设过C,D'的直线为y=kx+b,则
b=2,
4k+2=1,
解得k=-1/4
所以直线CD:y=(-1/4)x+2
抛物线的对称轴为直线x=1,
直线CD'与对称轴交点为E,
所以E(1,7/4)
因为EF=1,
所以F(1,3/4)
此时四边形ACEF周长最小,
四边形ACEF中,AC=2√2,CD'=√17,
所以周长的最小值为AC+CE+EF+FA
=AC+EF+CE+FA
=AC+EF+CE+FD
=AC+EF+CE+ED'
=AC+EF+CD'
=2√2+√17+1