已知l1、l2是曲线C：y=1x的两条互相平行的切线，则l1与l2与的距离的最大值为2222．

Question

已知l₁、l₂是曲线C：y=(1)/(x)的两条互相平行的切线，则l₁与l₂与的距离的最大值为

2√(2)

2√(2)

．

Answer 1

设l₁，l₂与曲线相切的切点分别是P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则y₁=(1)/(x1)，y₂=(1)/(x2)，
又y′=（(1)/(x)）′=-(1)/(x2)，
∵l₁∥l₂，∴-(1)/(x12)＝−(1)/(x22)，∴x₂=-x₁，
∴l₁：y-y₁=-(1)/(x12)（x-x₁）即y=-(1)/(x12)x+(2)/(x1)，
l₂：y-y₂=-(1)/(x22)（x-x₂）即y=-(1)/(x12)x−(2)/(x1)，
∴由两平行线的距离公式得，d=((4)/(|x1|))/(√(1+(1)/(x14)))=(4)/(√(x12+(1)/(x12)))≤(4)/(√(2))＝2√(2)．当且仅当x12＝(1)/(x12)即x₁=±1时，d取得最大值2√(2)．
故答案为：2√(2)．