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(2015•泰安模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是2222.
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(2015•泰安模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是
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▼优质解答
答案和解析
作D关于AE的对称点D′,再过D′作D′P′⊥AD于P′,
∵DD′⊥AE,
∴∠AFD=∠AFD′,
∵AF=AF,∠DAE=∠CAE,
∴△DAF≌△D′AF,
∴D′是D关于AE的对称点,AD′=AD=4,
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAD′=45°,
∴AP′=P′D′,
∴在Rt△AP′D′中,
P′D′2+AP′2=AD′2,AD′2=16,
∵AP′=P′D',
2P′D′2=AD′2,即2P′D′2=16,
∴P′D′=2
,
即DQ+PQ的最小值为2
,
故答案为:2
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∵DD′⊥AE,
∴∠AFD=∠AFD′,
∵AF=AF,∠DAE=∠CAE,
∴△DAF≌△D′AF,
∴D′是D关于AE的对称点,AD′=AD=4,
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAD′=45°,
∴AP′=P′D′,
∴在Rt△AP′D′中,
P′D′2+AP′2=AD′2,AD′2=16,
∵AP′=P′D',
2P′D′2=AD′2,即2P′D′2=16,
∴P′D′=2
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即DQ+PQ的最小值为2
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故答案为:2
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