微积分高手请进当x趋近于0时,求((1+tanx)/(1+sinx))^(1/x^3)的极限

Question

微积分高手请进
当x趋近于0时,求((1+tanx)/(1+sinx))^(1/x^3)的极限

Answer 1

原式=exp{ln[(1+tanx)/(1+sin x)]/x^3}用e抬起 x→0
=exp{[(1+sinx) (sec x)^2 - cos x (1+tan x)]/[3(x^2) (1+tanx)^2]
(采用洛比塔法则 上下都→0 并化简 得到上式 )x→0
由于这里分母因式中(1+tanx)^2→1可以先取极限（分子分母中只要存在极限的因式都可以直接取得,但“和”或者“差”式就不行
=exp{[(1+sin x)(sec x)^2-cos x (1+tanx)]/[3(x^2)]x→0
=exp{[(1+sin x)-(1+tanx)(cosx)^3]/[ 3(x^2)(cos x)^2]}x→0
这里secx=1/(cosx)上下通分,且cos x→1,取极限1
=exp{[(1+sin x)-(1+tan x)(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+sin x-(cosx)^3-(sin x)(cos x)^2]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sin x)(1-(cos x)^2)-(cosx)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sin x)((sin x)^2)-(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
=exp{[1+(sinx)^3-(cos x)^3]/[3(x^2)}x→0
这里也是分式上下都→0 也用洛比塔法则
=exp{[3((sinx)^2)(cosx)+3((cosx)^2)(sinx)]/(6x)}x→0
=exp{(sinx)(cosx)[(cosx)+(sinx)]/(2x)}x→0
sinx→x,cosx→1,等价无穷小代换并取可求极限有
=exp{[( cos x)+( sin x)]/2}取极限即可x→0
=exp (1/2)
=e^(1/2)