如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求CE的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．

（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
∴AC是 O的切线；
（2） 过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∵OG⊥BE，OB=OE，
∴BE=2BG=12．
解得：BE=12，
∵AC是 O的切线，
∴CD²=CE•CB，
即8²=CE（CE+12），
解得：CE=4或CE=-16（舍去），
即CE的长为4．