已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）（1）求证：CD是⊙P的切线；（2）求当⊙P与OB相切

Question

已知，点A（10，0）B（6，8），点P为线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）

（1）求证：CD是⊙P的切线；
（2）求当⊙P与OB相切时⊙P的半径；
（3）在（2）的情况下，设（2）中⊙P与OB的切点为E，连接PB交CD于点F（如图2）
①求CF的长；
②在线段DE上是否存在点G使∠GPF=45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接PC，过B作BN⊥x轴于点N．
∵PC=PA（⊙P的半径），
∴∠1=∠2（等边对等角）．
∵A（10，0），B（6，8），
∴OA=10，BN=8，ON=6，
∴在Rt△OBN中，OB=√(ON2+BN2)=10（勾股定理），
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠1（等边对等角），
∴∠OBA=∠2（等量代换），
∴PC∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD为⊙P的切线；

（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．
∵⊙P与OB相切于点E，则OB⊥PE，OA=10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP=(PE)/(OP)=(r)/(10−r)，
在Rt△OBN中，sin∠BON=(BN)/(OB)=(8)/(10)=(4)/(5)，
∴(r)/(10−r)=(4)/(5)，
解得：r=(40)/(9)；

（3）①如图3，∵由（2）知r=(40)/(9)，
∴在Rt△OPE中，OE=√(OP2−PE2)=√((10−(40)/(9))2−((40)/(9))2)=(10)/(3)（勾股定理），
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°，
∴四边形PCDE是矩形．
又∵PE=PC（⊙O的半径），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE=DC=r=(40)/(9)，
∴BD=OB-OE-DE=10-

作业帮用户 2017-11-05

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