如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB，（1）求该抛物线的解析式．（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写

Question

如图，抛物线y=ax²+bx经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB，
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由A（-4，0）、B（-2，2）在抛物线y=ax²+bx图象上，
得：

0＝a(−4)2+b(−4)

2＝a(−2)2+b(−2)

（2分）
解之得：a=-(1)/(2)，b=-2，
∴该函数解析式为：y=-(1)/(2)x²-2x．（4分）

（2）证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C．（6分）
∵y=-(1)/(2)x²-2x=-(1)/(2)（x+2）²+2，
∴线段CO、CA、CB的长度均为2，
∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形，
∴AB=OB
且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°
∴△OAB是等腰直角三角形（8分）

（3）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′
其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴．
又∵OB′和A′B′的长度为2√(2)，
A′B′中点P的坐标为（√(2)，-2√(2)），显然不满足抛物线方程，
∴点P不在此抛物线上（10分）

（4）存在（11分）
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y=x
联立抛物线解析式得：

y＝x

y＝−(1)/(2)x2−2x

解之得点M（-6，-6），
显然，点M（-6，-6）关于对称轴x=-2的对称点M′（2，-6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（-6，-6）和（2，-6）
∴s_ABOM=S_△ABO+s_△AOM=(1)/(2)×4×2+(1)/(2)×4×6=16．（12分）
（注：此题方法较多，只要合理均可给分）