已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且FA•OA＝16．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．

Question

已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且

FA

•

OA

＝16．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．

Answer 1

（Ⅰ）由题设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0），
则点F的坐标为((p)/(2)，0)，点A的一个坐标为(2，2√(p))，（2分）
∵

FA

•

OA

＝16，∴(2−(p)/(2)，2√(p))(2，2√(p))＝0，（4分）
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y²=8x．（6分）
（Ⅱ）证明：设B、C两点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8．
方程组

y2＝8x

x＝ky+8

得y²-8ky-64=0，y₁+y₂=8k，y₁•y₂=-64
∵

OB

＝(x1，y1)，

OC

＝(x2，y2)，
∴

OB

•

OC

＝x1x2+y1y2＝(ky1+8)(ky1+8)+y1y2=（k²+1）y₁y₂+8ky（y₁+y₂）+64=0，
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即

OB

＝(8，8)，

OC

＝(8，−8)，有

OB

•

OC

＝64−64＝0，∴OB⊥OC．…（8分）
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8）．
方程组

y2＝8x

y＝k(x−8)

得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，ky²-8y-64k=0．
∴x₁x₂=64，y₁y₂=-64，（10分）
∵

OB

＝(x1，y1)，

OC

＝(x2，y2)，
∴

OB

•

OC

＝x1x2+y1y2＝64−64＝0，
∴OB⊥OC．
由①②得OB⊥OC．（12分）