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(2012•鞍山)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连A
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(2012•鞍山)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠AOG=∠ADG=90°,
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,
∵
,
∴△AOG≌△ADG(HL);
(2)PG=OG+BP.
由(1)同理可证△ADP≌△ABP,
则∠DAP=∠BAP,由(1)可知,∠1=∠DAG,
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
所以,2∠DAG+2∠DAP=90°,即∠DAG+∠DAP=45°,
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°,
∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,
∴DG=OG,DP=BP,
∴PG=DG+DP=OG+BP;
(3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD,
又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,
∴∠1=∠2=30°,
在Rt△AOG中,AO=3,OG=AOtan30°=
,则G点坐标为:(
,0),
CG=3-
,在Rt△PCG中,
PC=
=
=3
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,
∵
|
∴△AOG≌△ADG(HL);
(2)PG=OG+BP.
由(1)同理可证△ADP≌△ABP,
则∠DAP=∠BAP,由(1)可知,∠1=∠DAG,
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
所以,2∠DAG+2∠DAP=90°,即∠DAG+∠DAP=45°,
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°,
∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,
∴DG=OG,DP=BP,
∴PG=DG+DP=OG+BP;
(3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD,
又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,
∴∠1=∠2=30°,
在Rt△AOG中,AO=3,OG=AOtan30°=
3 |
3 |
CG=3-
3 |
PC=
CG |
tan30° |
3−
| ||||
|
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