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如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．
题目详情
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：
（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．
（1）直线PA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD．
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．
又因为E为PC的中点，
所以OE∥PA． …4分
又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE． …6分
（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． …8分
因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． …10分
又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，
所以OE⊥平面PCD． …12分
又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD． …14分．
又因为E为PC的中点，
所以OE∥PA． …4分
又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以直线PA∥平面BDE． …6分
（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． …8分
因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． …10分
又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，
所以OE⊥平面PCD． …12分
又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD． …14分．
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