如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1。（I）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ。证明：PQ⊥OA；（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1。

（I）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ。证明：PQ⊥OA；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结CN 在△AOB中，∵∠AOB=120°且OA=OB ∴∠OAB=∠OBA=30° 在Rt△AON中，∵∠OAN=30° ∴ON=AN 在△ONB中，∵∠NOB=120°-90°=30°=∠OBN ∴NB=ON= AN 又AB=3AQ ∴Q为AN的中点 在△CAN中，∵P，Q分别为AC，AN的中点 ∴PQ∥CN 由OA⊥OC，OA⊥ON知：OA⊥平面CON 又NC 平面CON ∴OA⊥CO 由PQ∥CN，知OA⊥PQ；
（Ⅱ）连结PN，PO 由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB 又ON 平面OAB ∴OC⊥ON 又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC ∴OP是NP在平面AOC内的射影 在等腰Rt△COA中，P为AC的中点 ∴AC⊥OP 根据三垂线定理，知：AC⊥NP ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角 在等腰△COA中， ∴ 在 中， 在 中， ∴ 。