如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E．（1）若BC=3，CD=1，求⊙O的半径；（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相

交于点E．
（1）若BC=

3

，CD=1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线；
（3）过D点作DG⊥BC于G，DG与OE相交于点M，求证：DM=GM．

Answer 1

（1）∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC
∴BC ² +OB ² =OC ²
由题意得
(

3

) 2 + r 2 = (1+r) 2
即r=1．

（2）证明：连接OF，可得OF为△ABE的中位线，
∴OF ∥ AE，
∴∠BOF=∠A，∠COF=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠BOD=∠A+∠ADO=2∠A，
∴∠BOF=∠COF，
∵OD=OB，OF=OF．
∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即FD是⊙O的切线．



（3）证明：∵DG ∥ AB
∴ (DM)/(AO) =(EM)/(EO) =(MG)/(OB) ，AO=BO
∴DM=GM．