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如图,在矩形OABC中,点A(0,10),C(8,0).沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三
题目详情
如图,在矩形OABC中,点A(0,10),C(8,0).沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.
(1)求D的坐标及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
(1)求D的坐标及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCO为矩形,
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.
由题意,△BDC≌△EDC.
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD,
由勾股定理易得EO=6,
∴AE=10-6=4,
设AD=x,则BD=ED=8-x,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,
解得,x=3,
∴AD=3,
∴D(3,10),
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3,10),C(8,0),O(0,0).
∴
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为:y=-
x2+
x;
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5,
而CQ=t,EP=2t,
∴PC=10-2t,
当∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴
=
,即
=
,
解得:t=
,
当∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴
=
,即
=
,
解得:t=
,
∴当t=
或
时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似;
(3)假设存在符合条件的M、N点,分两种情况讨论:
①EC为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过EC中点,若四边形MENC是平行四边形,那么M点必为抛物线顶点,
则:M(4,
),
∵平行四边形的对角线互相平分,
∴线段MN必被EC中点(4,3)平分,
则N(4,-
);
②EC为平行四边形的边,则EC∥MN,EC=MN,
设N(4,m),则M(4-8,m+6)或M(4+8,m-6);
将M(-4,m+6)代入抛物线的解析式中,
解得:m=-38,
此时 N(4,-38)、M(-4,-32);
将M(12,m-6)代入抛物线的解析式中,
解得:m=-26,
此时 N(4,-26)、M(12,-32);
综上,存在符合条件的M、N点,且它们的坐标为:
①M1(-4,-32),N1(4,-38)
②M2(12,-32),N2(4,-26)
③M3(4,
),N3(4,-
).
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.
由题意,△BDC≌△EDC.
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD,
由勾股定理易得EO=6,
∴AE=10-6=4,
设AD=x,则BD=ED=8-x,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,
解得,x=3,
∴AD=3,
∴D(3,10),
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3,10),C(8,0),O(0,0).
∴
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解得:
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∴抛物线的解析式为:y=-
2 |
3 |
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(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5,
而CQ=t,EP=2t,
∴PC=10-2t,
当∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴
CQ |
EA |
CP |
ED |
t |
4 |
10−2t |
5 |
解得:t=
40 |
13 |
当∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴
PC |
AE |
CQ |
ED |
10−2t |
4 |
t |
5 |
解得:t=
25 |
7 |
∴当t=
40 |
13 |
25 |
7 |
(3)假设存在符合条件的M、N点,分两种情况讨论:
①EC为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过EC中点,若四边形MENC是平行四边形,那么M点必为抛物线顶点,
则:M(4,
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∵平行四边形的对角线互相平分,
∴线段MN必被EC中点(4,3)平分,
则N(4,-
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②EC为平行四边形的边,则EC∥MN,EC=MN,
设N(4,m),则M(4-8,m+6)或M(4+8,m-6);
将M(-4,m+6)代入抛物线的解析式中,
解得:m=-38,
此时 N(4,-38)、M(-4,-32);
将M(12,m-6)代入抛物线的解析式中,
解得:m=-26,
此时 N(4,-26)、M(12,-32);
综上,存在符合条件的M、N点,且它们的坐标为:
①M1(-4,-32),N1(4,-38)
②M2(12,-32),N2(4,-26)
③M3(4,
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