如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=5，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大

Question

如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，OM=√(5)，AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M．
（1）当AB=4时，求四边形ADBC的面积；
（2）当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．

Answer 1

（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，
那么AB=2√(9-OF2)=4，
∴OF=√(5)，
又∵OE²+OF²=OM²=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S_{四边形ADBC}=(1)/(2)AB×CD=12；

（2）设OE=x，OF=y，则x²+y²=5，
∵AB=2√(9-x2)，CD=2√(9-y2)，
∴S_{四边形ADBC}=(1)/(2)AB×CD=2√(9-x2)×√(9-y2)=2√(-x4+5x2+36)=2√(-(x2-(5)/(2))2+(169)/(4))，
∴当x²=

作业帮用户 2017-10-13

问题解析

（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2

(5)/(2)√(9-OF2)=4，易求OF，易知四边形FOEM是矩形，从而有OE²+OF²=OM²=5，易求OE=0，那么CD是直径等于6，从而易求四边形ADBC的面积；
（2）先设OE=x，OF=y，则x²+y²=5，根据（1）可得AB=2√(9-x2)，CD=2√(9-y2)，从而易知S_{四边形ADBC}=(1)/(2)AB×CD=2√(9-x2)×√(9-y2)，结合x²+y²=5，可得S_{四边形ADBC}=2√(-(x2-(5)/(2))2+(169)/(4))，从而可求四边形ADBC的面积的最大值．

名师点评

本题考点：

垂径定理；二次函数的最值；勾股定理．

考点点评：

本题考查了勾股定理、垂径定理、二次函数的最值、矩形的判定．解题的关键是作出辅助线，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．

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