如图1，在圆O中，弦AB和弦CD相交于点M．（1）求证：CMAM=BMDM；（2）若如图2中AB=CD，连接AD，OM并交于点E，则OM与AD有什么关系？请给出结论并证明．

Question

如图1，在圆O中，弦AB和弦CD相交于点M．
（1）求证：(CM)/(AM)=(BM)/(DM)；
（2）若如图2中AB=CD，连接AD，OM并交于点E，则OM与AD有什么关系？请给出结论并证明．

Answer 1

（1）证明：如图1，连结AC和BD，
∵∠CAM=∠BDM，
∵∠AMC=∠DMB，
∴△AMC∽△DMB，
∴(DM)/(AM)=(BM)/(CM)，
∴(CM)/(AM)=(BM)/(DM)；
（2）OM与AD关系是OM垂直平分AD，
证：如图2，连结AO和DO，
∵AB=CD，
∴

AB

=

CD

，
∴

AB

-

BC

=

CD

-

BC

，即

AC

=

BD

，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AM=DM，
∴M在AD的中垂线上，
∵AO=DO，
∴O在AD的中垂线上，
∴OM垂直平分AD．