已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的

Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝ (a为长半轴，c为半焦距)上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1） ＋y ² ＝1（2）(x－1) ² ＋(y－2) ² ＝5（3）

(1)由点M在准线上，得 ＝2，故 ＝2，∴c＝1，从而a＝ ，所以椭圆方程为 ＋y ² ＝1.
(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1) ² ＋ ＝ ＋1，其圆心为 ，半径r＝ ，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝ ＝ ，所以 ＝ ，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1) ² ＋(y－2) ² ＝5.
(3)证明：设N(x ₀ ，y ₀ )，则 ＝(x ₀ －1，y ₀ )， ＝(2，t)， ＝(x ₀ －2，y ₀ －t)， ＝(x ₀ ，y ₀ )．∵ ⊥ ，∴2(x ₀ －1)＋ty ₀ ＝0，∴2x ₀ ＋ty ₀ ＝2.
∵ ⊥ ，∴x ₀ (x ₀ －2)＋y ₀ (y ₀ －t)＝0，∴ ＋ ＝2x ₀ ＋ty ₀ ＝2，∴| |＝ ＝ 为定值．