如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AA1的中点，点O是BD1的中点，求证：OM是异面直线AA1，BD1的公垂线，并求OM的长．

Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是棱AA₁的中点，点O是BD₁的中点，求证：OM是异面直线AA₁，BD₁的公垂线，并求OM的长．

Answer 1

以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因为点M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以M（1，0，(1)/(2)），O（(1)/(2)，(1)/(2)，(1)/(2)），

OM

=（(1)/(2)，-(1)/(2)，0），

AA′

=（0，0，1），

BD′

=（-1，-1，1），
∴

OM

•

AA′

=0，

OM

•

作业帮用户 2017-11-09

问题解析

由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，利用向量的知识证明两条直线垂直；通过

OM

的坐标，直接求出模即可得到OM的长．

名师点评

本题考点：

点、线、面间的距离计算．

考点点评：

本题主要考查异面直线的垂直的判断，正方体中的距离计算等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，应用向量知识解决数学问题的能力．

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