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在直角坐标系xOy中,椭圆C1:="1"(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.(1)求C1的方程;(2)直线l∥OM

题目详情
在直角坐标系xOy中,椭圆C 1 : ="1" (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 , F 2 也是抛物线C 2 :y 2 =4x的焦点,点M为C 1 与C 2 在第一象限的交点,且|MF 2 |= .
(1)求C 1 的方程;
(2)直线l∥OM,与C 1 交于A、B两点,若 · =0,求直线l的方程.
▼优质解答
答案和解析
(1) .(2)直线l的方程为y= x-2 ,或y= x+2 .


试题分析:(1)由C 2 :y 2 =4x,知F 2 (1,0),设M(x 1 ,y 1 ),M在C 2 上,因为|MF 2 |= ,所以x 1 +1= ,得x 1 = ,y 1 = .所以M .M在C 1 上,且椭圆C 1 的半焦距c=1,于是 消去b 2 并整理得9a 4 -37a 2 +4=0.
解得a=2(a= 不合题意,舍去). b 2 =4-1=3.故椭圆C 1 的方程为 .
(2)因为l∥OM,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k= = .设l的方程为y= (x-m).
消去y并整理得9x 2 -16mx+8m 2 -4=0.设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = .
因为 ,所以x 1 x 2 +y 1 y 2 =0.所以x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +6(x 1 -m)(x 2 -m)=7x 1 x 2 -6m(x 1 +x 2 )+6m 2
=7· -6m· +6m 2 = (14m 2 -28)=0.所以m=± .此时Δ=(16m) 2 -4×9(8m 2 -4)>0.
故所求直线l的方程为y= x-2 ,或y= x+2 .
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质,通过布列方程,达到解题目的。本题(2)在利用韦达定理的基础上,借助于向量垂直,向量的数量积为0,得到了m的方程。