在直角坐标系xOy中,椭圆C1:="1"(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=.（1）求C1的方程；（2）直线l∥OM

Question

在直角坐标系xOy中,椭圆C ₁ : ="1" (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ₁ 、F ₂ , F ₂ 也是抛物线C ₂ ：y ² =4x的焦点，点M为C ₁ 与C ₂ 在第一象限的交点，且|MF ₂ |= .
（1）求C ₁ 的方程；
（2）直线l∥OM，与C ₁ 交于A、B两点，若 · =0，求直线l的方程.

Answer 1

(1) .(2)直线l的方程为y= x-2 ,或y= x+2 .

试题分析：(1)由C ₂ :y ² =4x,知F ₂ (1,0),设M(x ₁ ,y ₁ ),M在C ₂ 上,因为|MF ₂ |= ,所以x ₁ +1= ,得x ₁ = ,y ₁ = .所以M .M在C ₁ 上,且椭圆C ₁ 的半焦距c=1,于是 消去b ² 并整理得9a ⁴ -37a ² +4=0.
解得a=2(a= 不合题意,舍去). b ² =4-1=3.故椭圆C ₁ 的方程为 .
(2)因为l∥OM,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k= = .设l的方程为y= (x-m).
由 消去y并整理得9x ² -16mx+8m ² -4=0.设A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),则x ₁ +x ₂ = ,x ₁ x ₂ = .
因为 ⊥ ,所以x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =0.所以x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =x ₁ x ₂ +6(x ₁ -m)(x ₂ -m)=7x ₁ x ₂ -6m(x ₁ +x ₂ )+6m ²
=7· -6m· +6m ² = (14m ² -28)=0.所以m=± .此时Δ=(16m) ² -4×9(8m ² -4)＞0.
故所求直线l的方程为y= x-2 ,或y= x+2 .
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，通过布列方程，达到解题目的。本题（2）在利用韦达定理的基础上，借助于向量垂直，向量的数量积为0，得到了m的方程。