已知∠AOB与∠COD互余（∠COD的两边不在∠AOB的内部），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0°≤α＜180°）．（1）若∠AOB=60°，∠COD=30°．①当α=0°时，即OB与OC重

Question

已知∠AOB与∠COD互余（∠COD的两边不在∠AOB的内部），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0°≤α＜180°）．
（1）若∠AOB=60°，∠COD=30°．
①当α=0°时，即OB与OC重合时，如图1，则∠MON=______．
②当α=90°时，即OA与OD在一条直线上，如图2，求∠MON的度数．
③当α=140°时，请补全图形（如图3），并求出∠MON的度数．
（2）若∠AOB=β，∠COD=γ（β＞γ），则∠MON=______．

Answer 1

（1）①∠MON=(1)/(2)∠AOC+(1)/(2)∠BOD=45°．
②当α=90°时，
∠MON=180°-（(1)/(2)∠AOC+(1)/(2)∠BOD）
=180°-[(1)/(2)（∠AOB+∠BOC）+(1)/(2)（∠COD+∠BOC）]
=180°-[(1)/(2)（60°+90°）+(1)/(2)（30°+90°）]
=45°．
③当α=140°时，
∵∠AOD=360°-60°-30°-140°=130°，
∴∠MON=(1)/(2)∠AOC+(1)/(2)∠BOD-∠COD
=(1)/(2)（∠AOD+∠DOC）+(1)/(2)（∠BOC+∠COD）-∠COD
=(1)/(2)（∠AOD+∠BOC）
=(1)/(2)（360°-90°）
=135°；

（2）当∠AOB=β，∠COD=γ（β＞γ）时，∠AOB与∠COD互余，则β+γ=90°，
当如图1所示：∠MON=(1)/(2)∠AOC+(1)/(2)∠BOD=(1)/(2)（β+γ）=45°，
如图3所示：
∠MON=(1)/(2)∠AOC+(1)/(2)∠BOD-∠COD
=(1)/(2)（∠AOD+∠DOC）+(1)/(2)（∠BOC+∠COD）-∠COD
=(1)/(2)（∠AOD+∠BOC）
=(1)/(2)（360°-∠AOB-∠COD）
=(1)/(2)（360°-90°）
=135°，
则∠MON=135°或45°．
故答案为：135°或45°．