如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：(1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD的面积等于

Question

如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
(1)图形中全等的三角形只有两对；
(2)正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
(3)；
(4)，正确的结论有 ________ 个．

• A

  1
• B

  2
• C

  3
• D

  4

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形，
易证△ABC≌△ADC.
∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
易证△AOB≌△COB.
∵∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOB=∠FOB+∠FOC=90°，
∴∠EOB=∠FOC.
∵BO=CO，∠EBO=∠FCO=45°，
∴△EOB≌△FOC.
同理可证△EOA≌△FOB.
综上可知：图形中全等的三角形有四对，不是两对，故(1)错误；
∵△EOB≌△FOC，△EOA≌△FOB.
∴，，
∴.
又∵，
∴.
则正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，故(2)正确；
∵△EOA≌△FOB，
∴EA=FB，
∴BE+BF=BE+EA=AB.
在Rt△AOB中，AO=OB，
∴，
∴，故(3)正确；
∵AE=BF，BE=CF，
∴.
过点O作OG⊥EF于点G.

∵OE=OF，
∴OG=GE=GF.
∴.
∵O、E、B、F四点共圆，
∴PE·PF=OP·PB，
∴，故(4)正确.
综上所述，(2)(3)(4)正确，则正确的结论有3个，选C.

【点评】本题是多边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质以及直角三角形的性质，综合性较强，关键要注意两点：(1)两个全等三角形的面积相等；(2)有一组对角是直角的四边形是圆的内接四边形.