一道数学分析的题f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy,且f'(0)存在,求f(x)

Question

一道数学分析的题
f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy,且f'(0)存在,求f (x)

Answer 1

令x=y=0,则:
f(0+0)=f(0)+f(0)+2*0*0,即f(0)=0
对R上任何一点x,不放假设T为其上一个微小的偏移量,T -> 0,有：
f(x+T)-f(x)=f(x)+f(T)+2*x*T-f(x)=f(T)+2*T*X
则f(x)在x上的导数为:
[f(x+T)-f(x)]/T = [f(T)+2*T*x]/T = f(T)/T + 2*x
= [f(T)-0]/[T-0] + 2*x
由于f(0)=0,所以有
[f(T)-0]/[T-0] + 2*x = [f(T)-f(0)]/[T-0] + 2*x = f'(0)+2*x
所以若f'(0)存在,则函数在任一点都可导,并且f'(x)=f'(0)+2*x