证明：用平面去截圆柱,再将圆柱的侧面展开,截线所对应的曲线是正弦曲线

Question

证明：用平面去截圆柱,再将圆柱的侧面展开,截线所对应的曲线是正弦曲线

Answer 1

设斜面与圆柱的最下交点为A',过A’做一个水平面,斜面与水平面夹角为β. 
在圆柱与平面的交线上随便取一点D' 
在上面的主视图中看, 
D’E/A'E=tgβ=常数. 
B'与D’等高.B'在下面俯视图中的投影为B. 
A'在下面俯视图中的投影为A. 
从俯视图中看出A所在圆柱母线是从D点展开θ角得到的. 
在展开图中,A点的横坐标为θ角对应的弧长既r*θ,纵坐标为AB=OB*tgβ=OC*tgβ=（r-r*sinθ）*tgβ 
=r（1-sinθ）*tgβ 
既A点的坐标为r*θ,r（1-sinθ）*tgβ 
其中r、tgβ为常数.不难看出截交出的曲线纵坐标满足正弦规则.
y=r（1-sinθ）*tgβ
x=r*θ,θ=x/r带入y中
y=r（1-sin(x/r)）*tgβ