四、如图,AB是⊙O的直径,AB=12,AM、BM是⊙O的切线,在半圆上取一点P（P与A、B不重合）,过P作⊙O的切线与AM、BN分别交于C、D两点（1）若AC=4,求BD的长；（2）设AC=m,BD=n,求证：无论P在半圆的什么位

Question

四、如图,AB是⊙O的直径,AB=12,AM、BM是⊙O的切线,在半圆上取一点P（P与A、B不重合）,过P作⊙O的切线与AM、BN分别交于C、D两点
（1）若AC=4,求BD的长；
（2）设AC=m,BD=n,求证：无论P在半圆的什么位置,m与n之积是一个常数；
（3）若点P分半圆为AP（⌒弧）∶PB（⌒弧）= 1∶2,以O为坐标系原点,AB为y轴建立坐标系,求出直线CD的函数解析式
新年快乐

Answer 1

如图所示,
(1)因为OA=OP,OC是公共边,角OAC=角OPC,所以三角形OAC≌三角形OPC
同理三角形OBD≌三角形OPD.
所以有角BOD+角POD+角POC+角AOC=2∠BOC+2∠AOC=2(∠BOC+∠AOC)=180
所以∠BOC+∠AOC=90,∠BOC与∠AOC互余,所以∠ODB=∠AOC
所以三角形AOC≌三角形BOD,所以有BO/BD=AC/AO
得BD=AO*BO/AC=6*6/4=9
(2)无论点P在半圆的什么位置,都有三角形AOC≌三角形OBD  (OP永远垂直于CD)
由(1)得BO/BD=AC/AO,即BD*AC=AO*BO=6*6=36,即m*n=36
m与n之积是一个常数,得证
(3)因为点P分半圆为弧AP∶弧PB= 1∶2,所以弧所对的圆心角也被分成1:2
所以角AOP=60,角AOC=角BDO=30,所以角BDC=角DCM=2∠BDO=60
所以直线的倾斜角为60度,斜率k为tan 60=√3
因为角AOC=30度,OA=6,所以AC=OA*tan 30=6*(√3/3)=2√3
所以点C的坐标为(2√3,-6),将直线方程设为y=√3x+b,代入点C的坐标(2√3,-6)
得b=-12,所以直线CD的函数式为y=√3x-12