若直线l：y=kx+√2与双曲线C：三分之x2-y2=1恒有两个不同的交点A和B,且向量0A.向量0B>2(其中0为原点).求k的取值范围

Question

若直线l：y=kx+√2与双曲线C：三分之x2-y2=1恒有两个不同的交点A和B,且向量0A.向量0B>2(其中0为原点).求k的取值范围

Answer 1

将y=kx √2代入x^2/3-y^2=1,得
(1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0(1-3k^≠0),
其判别式Δ=(-6√2k)^2-4(1-3k^2)(-9)＞0,
∴k^2＜1,k≠±√3/3
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1 x2=6√2k/(1-3k^2),x1x2=-9/(1-3k^2),
∴y1y2=(kx1 √2)(kx2 √2)
=k^2(x1x2) √2k(x1 x2) 2
=k^2[-9/(1-3k^2)] √2k*6√2k/(1-3k^2) 2
=(2-3k^2)/(1 3k^2).
条件OA*OB2,得x1x2 y1y22,
即有：-9/(1-3k^2) (2-3k^2)/(1-3k^2)＞2.
整理得：1/3＜k^2＜3.③
由②③得：1/3＜k^2＜1.
∴-1＜k＜-√3／3,或√3／3＜k＜1.