如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD²+CD²=2AD²．

Answer 1

证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=(1)/(2)BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，
AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×(1)/(2)BC×BC
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．