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x,y>0,且x>y,求证2x+1/(x^2-2xy+y^2)>=2y+3
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x,y>0,且x>y,求证2x+1/(x^2-2xy+y^2)>=2y+3
▼优质解答
答案和解析
原式2x+1/(x^2-2xy+y^2)≥2y+3,改为1/(x^2-2xy+y^2)≥2y+3-2x
即要证1/(x-y)^2≥3-2（x-y）,亦即2(x-y)^3-3(x-y)^2+1≥0
由于x>y,所以令m=x-y>0,则要证2m^3-3m^2+1≥0
左边因式分(2m+1)(m-1)^2≥0,当且仅当x-y=1时等号成立,得证
即要证1/(x-y)^2≥3-2（x-y）,亦即2(x-y)^3-3(x-y)^2+1≥0
由于x>y,所以令m=x-y>0,则要证2m^3-3m^2+1≥0
左边因式分(2m+1)(m-1)^2≥0,当且仅当x-y=1时等号成立,得证
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