已知△ABC中,∠A：∠B：∠C=1:2:4.求证：1/a=1/b+1/cbrucewang927你的回答很好！你能否尝试用平面几何证明？

Question

已知△ABC中,∠A：∠B：∠C=1:2:4.求证：1/a=1/b+1/c
brucewang927
你的回答很好！你能否尝试用平面几何证明？

Answer 1

由正弦公式得a/sinA=b/sinB=c/sinC,用a表示b和c,
b=sinB*a/sinA,c=sinC*a/sinA.
1/b+1/c=sinA/a*(1/sinB+1/sinC)
=sinA/a*(sinB+sinC)/(sinB*sinC)
由∠A：∠B：∠C=1:2:4,且∠A+∠B+∠C=π得
∠B=2∠A,∠C=4∠A,7∠A=π
=sinA/a*(sin2A+sin4A)/(sin2A*sin4A)
=sinA/a*2sin3A*cosA/[sin2A*sin(π-4A)]
=sin2A*sin3A/a*sin2A*sin3A
=1/a
证毕.