设n为自然数,求证:(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!希望能用反证法或放缩法解一下,

Question

设n为自然数,求证:(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!
希望能用反证法或放缩法解一下,

Answer 1

证明这个东西,可以在草稿从结论出发,逆推.然后做下来.
证：因为 （2n）!/（2n）^n ≥1
（2n）!/（n）^n ≥2^n
1*3*5*...*(2n-1) * 2*4*6*...*(2n)/（n）^n ≥2^n
1*3*5*...*(2n-1)/（n）^n≥1/n!
((2n-1)/n)×((2n-3)/n)×...×(1/n)≥1/n!
(2-1/n)×(2-3/n)×(2-5/n)×...×(2-2n-1/n)≥1/n!
得证