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求证当a是不等于正负1的整数时,a^4+4是一个合数
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求证当a是不等于正负1的整数时,a^4+4是一个合数
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答案和解析
a^4+4
=a^4+4a^2+4-4a^2
=(a^2+2)^2-4a^2
=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)
a^2+2a+2=(a+1)^2+1>=1
a^2-2a+2=(a-1)^2+1>=1
当a是不等于正负1的整数时,a^2+2a+2和a^2-2a+2都是大于1的整数
所以(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)是合数
所以a^4+4是一个合数
=a^4+4a^2+4-4a^2
=(a^2+2)^2-4a^2
=(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)
a^2+2a+2=(a+1)^2+1>=1
a^2-2a+2=(a-1)^2+1>=1
当a是不等于正负1的整数时,a^2+2a+2和a^2-2a+2都是大于1的整数
所以(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)是合数
所以a^4+4是一个合数
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