求证：对于任意自然数n,p(n)=1^1993+2^1993+...+n^1993不能被n+2整除

Question

求证：对于任意自然数n,p(n)=1^1993+2^1993+...+n^1993不能被n+2整除

Answer 1

当n=2k+1 (k=0,1,2,...)为奇数时,
p(n)=1^1993+[2^1993+(2k+1)^1993]+[3^1993+(2k)^1993]+...+[(k+1)^1993+(k+2)^1993]
每个中括号都是2k+3=n+2的倍数,所以p(n)除以n+2应该余1,此时不能整除.
当n=2k (k=1,2,...)为偶数时,
p(n)=1^1993+[2^1993+(2k)^1993]+[3^1993+(2k-1)^1993]+...+[k^1993+(k+2)^1993]+(k+1)^1993
每个中括号都是2k+2=n+2的倍数,这时只需说明1^1993+(k+1)^1993不是2k+2=n+2的倍数即可.
而这一点是显然的,因为1^1993+(k+1)^1993除以k+1余数是1,即不是k+1的倍数,因此更不是k+1的2倍：2k+2的倍数了.
事实上当k为奇数时,1^1993+(k+1)^1993除以2k+2的余数还是1,当k为偶数时,1^1993+(k+1)^1993除以2k+2的余数是1+k+1=k+2.
所以n为偶数时p(n)不能被n+2整除.
因此结论成立.