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(a,b)表示a和b的最大公约数,若(a,b)=1求证(a+b,a-b)=1或2
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(a,b)表示a和b的最大公约数,若(a,b)=1 求证(a+b,a-b)=1或2
▼优质解答
答案和解析
假设(a+b,a-b)=c,c∈N
那么a+b=c*d,①
a-b=c*e,d,e∈N ②
①加② 得到2a=c（d+e）
①减② 得到2b=c（d-e）
∴（2a,2b）=c*f 此处f∈N,只是辅助说明c为公约数,而不一定是最大公约数.
另外由于(a,b)=1,所以,c*f=2 =〉c=1,或者c=2.
最后一步请仔细体会.
那么a+b=c*d,①
a-b=c*e,d,e∈N ②
①加② 得到2a=c（d+e）
①减② 得到2b=c（d-e）
∴（2a,2b）=c*f 此处f∈N,只是辅助说明c为公约数,而不一定是最大公约数.
另外由于(a,b)=1,所以,c*f=2 =〉c=1,或者c=2.
最后一步请仔细体会.
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