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已知x>0,求证:x-x^2/2-ln(1+x)
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已知x>0,求证:x-x^2/2-ln(1+x)
▼优质解答
答案和解析
证：
令f(x)=x-x²/2-ln(1+x) x＞0
则f '(x)=1-x-1/(1+x)
=[(1-x)(1+x)-1]/(1+x)
=(1-x²-1)/(1+x)
=-x²/(1+x)
因为x＞0,所以-x²/(1+x)＜0,即f '(x)＜0
所以f(x)在x＞0上是减函数
故f(x)＜f(0)=0-0²-ln(1+0)=0
即x-x²/2-ln(1+x)＜0
证毕.
令f(x)=x-x²/2-ln(1+x) x＞0
则f '(x)=1-x-1/(1+x)
=[(1-x)(1+x)-1]/(1+x)
=(1-x²-1)/(1+x)
=-x²/(1+x)
因为x＞0,所以-x²/(1+x)＜0,即f '(x)＜0
所以f(x)在x＞0上是减函数
故f(x)＜f(0)=0-0²-ln(1+0)=0
即x-x²/2-ln(1+x)＜0
证毕.
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