X,Y,Z为实数x+y+z=5,X平方加Y的平方加Z的平方等于9.求证X,Y,Z均不小于1且不大于7/3

Question

X,Y,Z为实数x+y+z=5,X平方加Y的平方加Z的平方等于9.求证X,Y,Z均不小于1且不大于7/3

Answer 1

证明：
x+y+z=5 →(5-x)²=(y+z)²
x²+y²+z²=9 → y²+z² =9-x²
∵y²+z²≥2yz
∴2(y²+z²)≥y²+z²+2yz =(y+z)²
∴(5-x)²=(y+z)²≤2y²+2z²=18-2x²
(5-x)²≤18-2x²
3x²-10x+7≤0
解得：1≤x≤7/3
同理可得1≤y≤7/3
1≤z≤7/3